Markdown 中的数学公式

本文档用于测试使用$$分隔符在 Markdown 中渲染数学公式的效果。

基础代数

让我们从一些基本的代数表达式开始。

二次方程的求根公式为： $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

一个简单的线性方程： $y = mx + c$

二项式平方的展开式： $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

微积分

以下是一些微积分中常用的表达式。

导数的极限定义: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

定积分: $\int_{a}^{b} f(x) dx$

$e^x$在$x=0$处的泰勒级数展开式: $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

三角函数

一些基本的三角恒等式。

毕达哥拉斯定理: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

正弦角加法公式: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

欧拉公式: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

统计学和概率

统计学和概率论中常用的公式。

一组 $n$个数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的平均值 ($\mu$) 公式: $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

正态分布的概率密度函数: $f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

贝叶斯定理: $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

线性代数

线性代数中的例子。

一个 2x2 矩阵: $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

2x2 矩阵的行列式: $\det(A) = ad - bc$

矩阵 A 和 B 的矩阵乘法: $C = AB$

物理

几个著名的物理方程式。

爱因斯坦的质能方程: $E = mc^2$

牛顿第二运动定律: $F = ma$

这可以很好地测试各类数学公式的渲染显示效果。